Ideal Gas에서의 Cp와 Cv

System 두 개를 생각해보자.
한 시스템은 Constant Volume, 한 시스템은 Constant Pressure로 유지된다.
똑같이 1도를 높이려 할 때, q = CΔT 이지만, 두 System에서 필요한 열량은 다르다.
고체나 액체의 경우에는 무시되지만 기체의 경우에는 분명 차이가 있을 것이다.
결론부터 이야기하자면, Cp 가 Cv 보다 더 크다. 왜냐하면 constant pressure를 유지하기 위해 volumn이 팽창되고, 이 과정에서 일부 열이 일로써 소모되기 때문이다.
따라서 q를 측정할 때 올바른 c값에 주의해야 한다.

1. Heat Transfer at Constant Volume
   ΔU = q + w (부피 변화가 없으므로 w = 0)
   ΔU = q
 이러한 실험들은 주로 반응기에서 일어난다고 할 수 있다. 급격한 압력상승을 견딜 반응기의 설계가 필요하다.

2. Heat Transfer at Constant Pressure : Enthalpy
자 드디어 엔탈피가 나왔다. (처음엔 도대체 무슨 의미인지 헷갈렸었다.)
엔탈피가 이리 많이 나오는 이유는, 사실 우리의 대부분의 반응은 Constant volume이라기 보다는(화학공장에서는 이것이 많이 쓰일수도 있겠다.) 대기 중에 Open되어 있는, 즉 Constant Pressure 상황에서 더 많이 일어나기 때문이다. 

ΔU = q + w
여기에서 우리가 관심있는 q를 왼쪽으로 옮기면
q = ΔU - w = ΔU + PΔV
이때의 q를 H(엔탈피라 부른다.)
H = U + PV,  ΔH = ΔU + PΔV로 정의된다.
U, P, V가 모두 State Function이므로, H 역시 State Function이다.


통계역학을 통해 증명하면 Ideal Gas의 운동에너지 Ek = 3/2 nRT 이다.
분자의 회전/진동에너지 역시 내부에너지에 포함되지만,
mono-atomic gas에의 ΔE는 운동에너지의 변화만 해당되므로
ΔE = 3/2 nRΔT 라고 할 수 있다.

다시한번 두가지 Process에서 살펴보자.
1. Heat Transfer at Constant Volume
  ΔU = q = nCvΔT = 3/2 nRΔT
  Cv = 3/2 R 이 됨을 알 수 있다.
2.  Heat Transfer at Constant Pressure
  q = nCpΔT,  ΔU = nCvΔT
  q = ΔU - w = ΔU + PΔV
  따라서 nCpΔT = nCvΔT + PΔV
  Cp  = Cv  + R = 5/2 R

이로써 Ideal Gas에서는
ΔU = nCvΔT = 3/2 nRΔT  
ΔH = nCpΔT = 5/2 nRΔT
임을 알 수 있다. 

출처
1. Principles of Modern Chemistry. Oxtoby 6th Edition.