Distillation Column - Graphical Method [McCabe-Thiele]

어떻게 읽는건지 몰랐는데 맥케입-틸리라고 읽는댄다.
1925년에 개발된 방법으로 칼럼증류를 가시화할 수 있는 도식작도법이다.
컴퓨터의 도움 덕분에 칼럼의 설계에 관한 정확한 계산은 프로그램으로 돌릴 수 있지만 여전히 대략적인 Assumption과 이론적인 배경을 이해하기 위해서는 McCabe-Thiele법과 같은 Graphical Method에 익숙해 질 필요가 있다.

McCabe-Thiele는 크게 3가지로 이루어져 있다.
1. Equilibrium Curve
2. Operating Curve
3. q-line

1. Equilibrium Curve(평형곡선)

Binary 성분의 평형곡선을 그리기 위해선 앞의 Phase Diagram에서 나왔던 식을 활용한다.
원래 상대휘발도 α는 온도에 대한 함수지만, 탑 전반에 걸쳐 온도의 변화가 작아 거의 일정하다고 본다. 이 식이 우리의 y-x 선도의 기본 식이 된다.

Perry's Handbook의 Table들을 이용해도 실험적 data들을 얻을 수 있다.

아래는 Benzene-Toluene의 y-x 선도 그래프이다. 

상대휘발도는 곡선의 아래쪽에서 2.6, 곡선 꼭대기에서 약 2.35까지 변하는것을 알 수 있다. 증류는 상대휘발도 차이를 이용해 증류하는 것이므로 이 상대휘발도의 평균값이 높을 수록 일반적으로 증류가 더 쉽다. 일반적으로 1.05 미만은 거의 발견할 수 없으며, 1.16에서 81.2까지 다양한 범위의 상대휘발도를 가진 증류조업들이 있다.


2. Operating Curve(조작곡선)
평형선은 n번째 단 내부의 평형상태를 알려주는 Curve이다.
하지만 실제 칼럼의 "단 사이(Bubble Cap/Sieve 등)"에서 이루어지는 기액접촉은 사실 이전에 서로 다른 평형상태에 있던 기체와 액체의 만남이다.
n번째 단에서 사이좋게 지내던 액체와 n-1번째 단에서 사이좋게 지내던 기체가 만나는 순간이랄까. 이 순간들을 그래프로 나타낸 것이 바로 조작 곡선이다.

이를 위해선 물질수지식이 두개 필요하다.
먼저 영역을 Feed단 기준으로 윗부분인 Rectifying-Section(정류 부분)과 아랫부분인 Stripping-Section(제거? 부분)으로 나눈다.

1) Rectifying-Section 물질수지식

Feed단 윗쪽 기준으로 V = L + D 를 가지고 도출한 식이다.
Reflux Ratio R = L/D로 정의하면 (7-9)같이 표시할 수도 있는데, 이는 최소환류비나 최소단수를 구할 때 유용하게 쓰인다. 참고로 그래프에서 오른쪽 상단으로 갈수록 휘발도가 강한 성분의 조성이 많아지므로 증류탑 상부를 의미한다.

2) Stripping-Section 물질수지식

역시 식은 Feed단 아래를 기준으로 Ḹ = Ṽ + B를 가지고 도출한 식이다.
Reflux Ratio와 대응되는 개념인 Boilup Ratio로 나타낼 수도 있다.

이 두 조작선으로 완성된 것이 McCabe-Thiele 곡선이다. 조작선(Tray의 기액접촉)과 평행선(단내부)을 넘나드는 과정이 바로 이론단수가 된다. 따라서 위 그래프는 이론단수 6단의 Column이 된다. 

3. q-line
 q-line이란 Feed의 Thermal Condition에 관한 line이다.
정의상으로는, 1mole의 Feed를 기화하는데 소요되는 열량을 feed의 molar heat of vaporization으로 나눈 값이다.
 이게 무슨 말이냐? 만약 Feed가 subcooled되어 있다면, 추가적으로 기화하는데 열량을 더 공급해 주어야 하기 때문에 q>1이 될 것이다. saturated vapor 상태라면 기화하는데 소요되는 열량이 heat of vaporization과 같기 때문에 q=1 이다.
 q를 이 방법 말고 Feed에서 밑으로 기화되지 못하고 떨어지는 액체유량의 값을 Feed량으로 나누어서 구하는 방법도 있는데 사실 조금 생각해 보면 위와 같은 의미다.
Feed단에서의 물질수지식을 다시 세워보면 아래의 식이 나온다.

이것 역시 조작선 중 하나인데 Feed단에만 해당하는 조작선이다.
q는 (L-L')/F 로, 피드된 양 중에 밑의 단으로 떨어지는 양의 비율이다.

q값이 크면 클수록 기울기도 커지고, 그만큼 엔탈피가 낮다는 의미이다. (밑으로 떨어지는 성질이 강함) 그렇다면 최적의 q값은 두 조작선이 만나는 교점을 지나는 것이 가장 좋다는 의미가 된다. 그리고 그 곳이 최적 Feed단이다. 

4. 정리
원하는 조성의 평형곡선을 그린 후,
적절한 Reflux ratio를 선정 후 Rectifying Section의 그래프를 그린다.
feed단의 q line을 찾은 후에 Rectifying Section과 교점을 찾는다.
그 교점으로부터 XB까지 이어 Stripping Section의 조작선을 완료한다. 




출처
1. http://cbe.snu.ac.kr/sites/cbe.snu.ac.kr/files/board/LectureBoard/Chapter_07_Distillation_Separation%20Process_2015F-1_0.pdf